一： 最小生成树
1. 概念
首先看如下图，不知道大家能总结点什么。
对于一个连通图G，如果其全部顶点和一部分边构成一个子图G1，当G1满足：
① 刚好将图中所有顶点连通。②顶点不存在回路。则称G1就是G的“生成树”。
其实一句话总结就是：生成树是将原图的全部顶点以最小的边连通的子图，这不，如下的连通图可以得到下面的两个生成树。
② 对于一个带权的连通图，当生成的树不同，各边上的权值总和也不同，如果某个生成树的权值最小，则它就是“最小生成树”。
2. 场景
实际应用中“最小生成树”还是蛮有实际价值的，教科书上都有这么一句话，若用图来表示一个交通系统，每一个顶点代表一个城市，
边代表两个城市之间的距离，当有n个城市时，可能会有n(n-1)/2条边，那么怎么选择(n-1)条边来使城市之间的总距离最小，其实它
的抽象模型就是求“最小生成树”的问题。
3. prim算法
当然如何求“最小生成树”问题，前人都已经给我们总结好了，我们只要照葫芦画瓢就是了，
第一步：我们建立集合“V,U"，将图中的所有顶点全部灌到V集合中，U集合初始为空。
第二步： 我们将V1放入U集合中并将V1顶点标记为已访问。此时：U（V1）。
第三步： 我们寻找V1的邻接点（V2,V3,V5)，权值中发现(V1,V2)之间的权值最小，此时我们将V2放入U集合中并标记V2为已访问，
此时为U（V1，V2）。
第四步： 我们找U集合中的V1和V2的邻接边，一阵痉挛后，发现（V1，V5）的权值最小，此时将V5加入到U集合并标记为已访问，此时
U的集合元素为（V1，V2，V5）。
第五步：此时我们以（V1，V2，V5）为基准向四周寻找最小权值的邻接边，发现（V5，V4）的权值最小，此时将V4加入到U集合并标记
为已访问，此时U的集合元素为（V1，V2，V5，V4）。
第六步： 跟第五步形式一样，找到了（V1，V3）的权值最小，将V3加入到U集合中并标记为已访问，最终U的元素为（V1，V2，V5，V4，V3），
最终发现顶点全部被访问，最小生成树就此诞生。
复制代码 代码如下:
#region prim算法获取最小生成树
/// <summary>
/// prim算法获取最小生成树
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum)
{
//已访问过的标志
int used = 0;
//非邻接顶点标志
int noadj = -1;
//定义一个输出总权值的变量
sum = 0;
//临时数组，用于保存邻接点的权值
int[] weight = new int[graph.vertexNum];
//临时数组，用于保存顶点信息
int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum];
//取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中
for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)
{
//保存于邻接点之间的权值
weight[i] = graph.edges[0, i];
//等于0则说明V1与该邻接点没有边
if (weight[i] == short.MaxValue)
tempvertex[i] = noadj;
else
tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]);
}
//从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合
var index = tempvertex[0] = used;
var min = weight[0] = short.MaxValue;
//在V的邻接点中找权值最小的节点
for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)
{
index = i;
min = short.MaxValue;
for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++)
{
//用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点
if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0)
{
min = weight[j];
index = j;
}
}
//累加权值
sum += min;
Console.Write("({0},{1}) ", tempvertex[index], graph.vertex[index]);
//将取得的最小节点标识为已访问
weight[index] = short.MaxValue;
tempvertex[index] = 0;
//从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值
for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)
{
//已当前节点为出发点，重新选择最小边
if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used)
{
weight[j] = graph.edges[index, j];
//这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边
tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]);
}
}
}
}
#endregion
二： 最短路径
1. 概念
求最短路径问题其实也是非常有实用价值的，映射到交通系统图中，就是求两个城市间的最短路径问题，还是看这张图，我们可以很容易的看出比如
V1到图中各顶点的最短路径。
① V1 -> V2 直达， 权为2。
② V1 -> V3 直达 权为3。
③ V1->V5->V4 中转 权为3+2=5。
④ V1 -> V5 直达 权为3。
、
2. Dijkstra算法
我们的学习需要站在巨人的肩膀上，那么对于现实中非常复杂的问题，我们肯定不能用肉眼看出来，而是根据一定的算法推导出来的。
Dijkstra思想遵循 “走一步，看一步”的原则。
第一步： 我们需要一个集合U，然后将V1放入U集合中，既然走了一步，我们就要看一步，就是比较一下V1的邻接点（V2，V3，V5），
发现（V1，V2）的权值最小，此时我们将V2放入U集合中，表示我们已经找到了V1到V2的最短路径。
第二步：然后将V2做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现只有V4可以连通，此时修改V4的权值为（V1，V2)+(V2，V4)=6。
此时我们就要看一步，发现V1到（V3，V4，V5）中权值最小的是（V1，V5），此时将V5放入U集合中，表示我们已经找到了
V1到V5的最短路径。
第三步：然后将V5做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现能连通的有V3，V4，当我们正想修该V3的权值时发现（V1，V3）的权值
小于（V1->V5->V3),此时我们就不修改，将V3放入U集合中，最后我们找到了V1到V3的最短路径。
第四步：因为V5还没有走完，所以继续用V5做中间点，此时只能连通(V5,V4),当要修改权值的时候，发现原来的V4权值为(V1,V2)+(V2,V4),而
现在的权值为5，小于先前的6，此时更改原先的权值变为5，将V4放入集合中，最后我们找到了V1到V4的最短路径。
复制代码 代码如下:
#region dijkstra求出最短路径
/// <summary>
/// dijkstra求出最短路径
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
public void Dijkstra(MatrixGraph g)
{
int[] weight = new int[g.vertexNum];
int[] path = new int[g.vertexNum];
int[] tempvertex = new int[g.vertexNum];
Console.WriteLine("\n请输入源点的编号：");
//让用户输入要遍历的起始点
int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1;
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
{
//初始赋权值
weight[i] = g.edges[vertex, i];
if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0)
path[i] = vertex;
tempvertex[i] = 0;
}
tempvertex[vertex] = 1;
weight[vertex] = 0;
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
{
int min = short.MaxValue;
int index = vertex;
for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)
{
//顶点的权值中找出最小的
if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min)
{
min = weight[j];
index = j;
}
}
tempvertex[index] = 1;
//以当前的index作为中间点，找出最小的权值
for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)
{
if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j])
{
weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j];
path[j] = index;
}
}
}
Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]);
//最后输出
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
{
if (tempvertex[i] == 1)
{
var index = i;
while (index != vertex)
{
var j = index;
Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]);
index = path[index];
}
Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]);
}
else
{
Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]);
}
}
}
#endregion
最后上一下总的运行代码
复制代码 代码如下:
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace MatrixGraph
{
public class Program
{
static void Main(string[] args)
{
MatrixGraphManager manager = new MatrixGraphManager();
//创建图
MatrixGraph graph = manager.CreateMatrixGraph();
manager.OutMatrix(graph);
int sum = 0;
manager.Prim(graph, out sum);
Console.WriteLine("\n最小生成树的权值为：" + sum);
manager.Dijkstra(graph);
//Console.Write("广度递归:\t");
//manager.BFSTraverse(graph);
//Console.Write("\n深度递归:\t");
//manager.DFSTraverse(graph);
Console.ReadLine();
}
}
#region 邻接矩阵的结构图
/// <summary>
/// 邻接矩阵的结构图
/// </summary>
public class MatrixGraph
{
//保存顶点信息
public string[] vertex;
//保存边信息
public int[,] edges;
//深搜和广搜的遍历标志
public bool[] isTrav;
//顶点数量
public int vertexNum;
//边数量
public int edgeNum;
//图类型
public int graphType;
/// <summary>
/// 存储容量的初始化
/// </summary>
/// <param name="vertexNum"></param>
/// <param name="edgeNum"></param>
/// <param name="graphType"></param>
public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType)
{
this.vertexNum = vertexNum;
this.edgeNum = edgeNum;
this.graphType = graphType;
vertex = new string[vertexNum];
edges = new int[vertexNum, vertexNum];
isTrav = new bool[vertexNum];
}
}
#endregion
/// <summary>
/// 图的操作类
/// </summary>
public class MatrixGraphManager
{
#region 图的创建
/// <summary>
/// 图的创建
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
public MatrixGraph CreateMatrixGraph()
{
Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。");
var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList();
MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);
//我们默认“正无穷大为没有边”
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)
{
graph.edges[i, j] = short.MaxValue;
}
}
Console.WriteLine("请输入各顶点信息：");
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");
var single = Console.ReadLine();
//顶点信息加入集合中
graph.vertex[i] = single;
}
Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");
for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++)
{
Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t");
initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList();
int start = initData[0];
int end = initData[1];
int weight = initData[2];
//给矩阵指定坐标位置赋值
graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;
//如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称
if (graph.graphType == 1)
{
graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;
}
}
return graph;
}
#endregion
#region 输出矩阵数据
/// <summary>
/// 输出矩阵数据
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void OutMatrix(MatrixGraph graph)
{
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)
{
if (graph.edges[i, j] == short.MaxValue)
Console.Write("∽\t");
else
Console.Write(graph.edges[i, j] + "\t");
}
//换行
Console.WriteLine();
}
}
#endregion
#region 广度优先
/// <summary>
/// 广度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void BFSTraverse(MatrixGraph graph)
{
//访问标记默认初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
graph.isTrav[i] = false;
}
//遍历每个顶点
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
//广度遍历未访问过的顶点
if (!graph.isTrav[i])
{
BFSM(ref graph, i);
}
}
}
/// <summary>
/// 广度遍历具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
{
//这里就用系统的队列
Queue<int> queue = new Queue<int>();
//先把顶点入队
queue.Enqueue(vertex);
//标记此顶点已经被访问
graph.isTrav[vertex] = true;
//输出顶点
Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]);
//广度遍历顶点的邻接点
while (queue.Count != 0)
{
var temp = queue.Dequeue();
//遍历矩阵的横坐标
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)
{
graph.isTrav[i] = true;
queue.Enqueue(i);
//输出未被访问的顶点
Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]);
}
}
}
}
#endregion
#region 深度优先
/// <summary>
/// 深度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void DFSTraverse(MatrixGraph graph)
{
//访问标记默认初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
graph.isTrav[i] = false;
}
//遍历每个顶点
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
//广度遍历未访问过的顶点
if (!graph.isTrav[i])
{
DFSM(ref graph, i);
}
}
}
#region 深度递归的具体算法
/// <summary>
/// 深度递归的具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
/// <param name="vertex"></param>
public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
{
Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]);
//标记为已访问
graph.isTrav[vertex] = true;
//要遍历的六个点
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)
{
//深度递归
DFSM(ref graph, i);
}
}
}
#endregion
#endregion
#region prim算法获取最小生成树
/// <summary>
/// prim算法获取最小生成树
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum)
{
//已访问过的标志
int used = 0;
//非邻接顶点标志
int noadj = -1;
//定义一个输出总权值的变量
sum = 0;
//临时数组，用于保存邻接点的权值
int[] weight = new int[graph.vertexNum];
//临时数组，用于保存顶点信息
int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum];
//取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中
for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)
{
//保存于邻接点之间的权值
weight[i] = graph.edges[0, i];
//等于0则说明V1与该邻接点没有边
if (weight[i] == short.MaxValue)
tempvertex[i] = noadj;
else
tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]);
}
//从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合
var index = tempvertex[0] = used;
var min = weight[0] = short.MaxValue;
//在V的邻接点中找权值最小的节点
for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)
{
index = i;
min = short.MaxValue;
for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++)
{
//用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点
if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0)
{
min = weight[j];
index = j;
}
}
//累加权值
sum += min;
Console.Write("({0},{1}) ", tempvertex[index], graph.vertex[index]);
//将取得的最小节点标识为已访问
weight[index] = short.MaxValue;
tempvertex[index] = 0;
//从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值
for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)
{
//已当前节点为出发点，重新选择最小边
if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used)
{
weight[j] = graph.edges[index, j];
//这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边
tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]);
}
}
}
}
#endregion
#region dijkstra求出最短路径
/// <summary>
/// dijkstra求出最短路径
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
public void Dijkstra(MatrixGraph g)
{
int[] weight = new int[g.vertexNum];
int[] path = new int[g.vertexNum];
int[] tempvertex = new int[g.vertexNum];
Console.WriteLine("\n请输入源点的编号：");
//让用户输入要遍历的起始点
int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1;
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
{
//初始赋权值
weight[i] = g.edges[vertex, i];
if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0)
path[i] = vertex;
tempvertex[i] = 0;
}
tempvertex[vertex] = 1;
weight[vertex] = 0;
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
{
int min = short.MaxValue;
int index = vertex;
for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)
{
//顶点的权值中找出最小的
if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min)
{
min = weight[j];
index = j;
}
}
tempvertex[index] = 1;
//以当前的index作为中间点，找出最小的权值
for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)
{
if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j])
{
weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j];
path[j] = index;
}
}
}
Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]);
//最后输出
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
{
if (tempvertex[i] == 1)
{
var index = i;
while (index != vertex)
{
var j = index;
Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]);
index = path[index];
}
Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]);
}
else
{
Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]);
}
}
}
#endregion
}
}
算法速成系列至此就全部结束了，公司给我们的算法培训也于上周五结束，呵呵，赶一下同步。最后希望大家能对算法重视起来，
学好算法，终身收益。
算法系列
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这一波大模型产业落地浪潮里，不少企业其实处在 “干瞪眼“的状态。
一种情况是，很多大模型产品看得见却摸不着，在台上一个个遥遥领先——今天Sora技精四座，明天英伟达的机器人又赢得满堂彩，可是到了台下一问：啥时候能用上啊？答曰：遥遥无期。
另一种情况是，企业想用上大模型，却又难免瞻前顾后——既要考虑场景融合，又得兼顾安全性，还要考虑打通现有系统，再加上各种部署成本和繁琐的采购流程……最后只能拂袖：罢了，再等等吧。
稳了！魔兽国服回归的3条重磅消息！官宣时间再确认！
昨天有一位朋友在大神群里分享，自己亚服账号被封号之后居然弹出了国服的封号信息对话框。
这里面让他访问的是一个国服的战网网址，com.cn和后面的zh都非常明白地表明这就是国服战网。
而他在复制这个网址并且进行登录之后，确实是网易的网址，也就是我们熟悉的停服之后国服发布的暴雪游戏产品运营到期开放退款的说明。这是一件比较奇怪的事情，因为以前都没有出现这样的情况，现在突然提示跳转到国服战网的网址，是不是说明了简体中文客户端已经开始进行更新了呢？